Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:

ln ⁡ ( 1 + x ) = x ( 1 1 − x ( 1 2 − x ( 1 3 − x ( 1 4 − x ( 1 5 − ⋯ ) ) ) ) ) f o r | x | < 1. {\displaystyle \ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|<1.\,\!}

Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất sau đây có thể được sử dụng:

ln ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 + y 1 − y ) {\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)}	= 2 y ( 1 1 + 1 3 y 2 + 1 5 y 4 + 1 7 y 6 + 1 9 y 8 + ⋯ ) {\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\cdots \right)}
	= 2 y ( 1 1 + y 2 ( 1 3 + y 2 ( 1 5 + y 2 ( 1 7 + y 2 ( 1 9 + ⋯ ) ) ) ) ) {\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)}

với y = x − 1 x + 1 {\displaystyle y={x-1 \over x+1}} và x>0

Cho ln(x) vào x>1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều này:

ln ⁡ ( 123.456 ) {\displaystyle \ln(123.456)\!}	= ln ⁡ ( 1.23456 × 10 2 ) {\displaystyle =\ln(1.23456\times 10^{2})\,\!}
	= ln ⁡ ( 1.23456 ) + ln ⁡ ( 10 2 ) {\displaystyle =\ln(1.23456)+\ln(10^{2})\,\!}
	= ln ⁡ ( 1.23456 ) + 2 × ln ⁡ ( 10 ) {\displaystyle =\ln(1.23456)+2\times \ln(10)\,\!}
	≈ ln ⁡ ( 1.23456 ) + 2 × 2.3025851 {\displaystyle \approx \ln(1.23456)+2\times 2.3025851\,\!}

Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như trên.

Độ chính xác cao

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác, hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay thế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.

Cách tính khác cho kết quả có độ chính xác khá cao là công thức:

ln ⁡ x ≈ π 2 M ( 1 , 4 / s ) − m ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2}

với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trung bình nhân của 1 và 4/s và:

s = x 2 m > 2 p / 2 , {\displaystyle s=x\,2^{m}>2^{p/2},}

với m được chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế, nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newton đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán hàm mũ có hiệu quả. (Hằng số ln2 và pi có thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng nhiều dãy số cho trước một cách nhanh chóng.)